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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
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Práctica 6 - Integrales

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6.6. Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
e) ∫sin⁡2(θ)dθ\int \sin^{2}(\theta) d \theta

Respuesta

⚠️ Esta integral la resolvimos en la clase "Integrales por partes que salen usando algún truquito". Yo dejo acá la resolución en texto sólo para que quede, pero te recomiendo fuertemente que mejor mires la resolución en la clase grabada! :)

∫sin⁡2(θ)dθ=∫sin⁡(θ)⋅sin⁡(θ) dθ\int \sin^{2}(\theta) d \theta = \int \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) \, d\theta

Vamos a resolverla aplicando la fórmula de partes, tomamos:

f′=sin⁡(θ)→f=−cos⁡(θ) f' = \sin(\theta) \rightarrow f = -\cos(\theta) g=sin⁡(θ)→g′=cos⁡(θ) g = \sin(\theta) \rightarrow g' = \cos(\theta) Reemplazamos estas funciones en nuestra fórmula: ∫sin⁡(θ)⋅sin⁡(θ)dθ=(−cos⁡(θ))⋅sin⁡(θ)−∫(−cos⁡(θ))⋅cos⁡(θ)dθ= −cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+∫cos⁡2(θ)dθ  \int \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) d \theta = (-\cos(\theta)) \cdot \sin(\theta) - \int (-\cos(\theta)) \cdot \cos(\theta) d \theta = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \int \cos^{2}(\theta) d \theta 

Ahora reescribimos cos2(θ)cos^2(\theta) como 1−sin⁡2(θ)1 - \sin^2(\theta)

= −cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+∫1−sin⁡2(θ)dθ = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \int 1 - \sin^{2}(\theta) d \theta 

Separamos la integral

= −cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+∫1  dθ −∫sin⁡2(θ)dθ = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \int 1 \, d \theta - \int \sin^{2}(\theta) d \theta 

= −cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+θ −∫sin⁡2(θ)dθ = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta - \int \sin^{2}(\theta) d \theta 

Y ahora recapitulemos, llegamos a que

∫sin⁡2(θ)dθ= −cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+θ −∫sin⁡2(θ)dθ\int \sin^{2}(\theta) d \theta = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta - \int \sin^{2}(\theta) d \theta

Pasamos la integral de la derecha para el otro lado

2⋅∫sin⁡2(θ)dθ= −cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+θ2 \cdot \int \sin^{2}(\theta) d \theta = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta

Pasamos el 22 dividiendo y ya estamos:

∫sin⁡2(θ)dθ=12⋅[−cos⁡(θ)⋅sin⁡(θ)+θ]+C\int \sin^{2}(\theta) d \theta = \frac{1}{2} \cdot [-\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta ] + C

(Repito, esta integral merece una explicación en vivo, por eso la vimos en la clase. Si todavia no viste esa clase y no entendiste nada de lo que pasó, es normal, andá a mirar la clase por favor jaja y seguro ahí se acomoden bastante las ideas)
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